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La belleza de las matemáticas
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m-angel
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Ubicación: En la casa de la pradera

MensajePublicado: 19/12/2013 17:19    Asunto: Responder citando

El libro donde lei el problema se referia, al decir la panoramica mas amplia, a que los anillos parezcan lo mas amplios posible de arriba a abajo.

A ver si se ve el dibujo: el angulo rojo (alfa) tiene que ser lo mayor posible.

https://drive.google.com/file/d/0B1Y21yhYdmEOX1hCMGtkWmtmZ00/edit?usp=sharing

Pero tambien esta bien plantear otras definiciones de "panoramica mas amplia."
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Sadlymistaken
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Registrado: 14 Nov 2008
Mensajes: 3985

MensajePublicado: 21/12/2013 01:05    Asunto: Responder citando

Si termina siendo este ejercicio geometría plana

(usando cifras más pequeñas, pero igual de eficaces... porque los ángulos serán los mismos..)

el centro de la circunferencia que representa el planeta es O (0, 0)
la circunferencia comenzamos a dibujarla por el punto.. M (60, 0) del eje X
Y el aro saturniano representara tan solo una linea en el eje X desde el punto P (67, 0) hasta Q (140, 0)

al susodicho punto en la circunferencia le llamamos T (a, b)

de P a T tendremos la recta "r"
de Q a T tendremos la recta "s"

Buscamos el punto T, perneciente a la circunferencia que haga máximo el ángulo (interior) entre r y s.

OK...
La ecuación de la circunferencia es a² + b² = 60²
El vector director de "r" es (67-a, -b)
El vector director de "s" es (140-a, -b)

Con ello conseguimos rellenar la ecuación para conseguir ese ángulo.. por medio de la tangente, y las pendientes de esas rectas.



rellenamos los datos.

Una vez hecho eso... y habiendo despejado b en la ecuación de la circunferencia, ponemos el valor de b en esa ecuación.

DERIVAMOS la ecuación, en búsqueda de máximos y mínimos...
IGUALAMOS A CERO, y no se porqué... sólo me da un resultado
a = 57,4114021572
Lo compruebo con la SEGUNDA DERIVADA... es un mínimo. OK.
Lo necesitamos, pues CUANTO MÁS PEQUEÑA sea la TANGENTE (recordad que estamos usando la tangente del angulo)... el ángulo será mayor.
despejamos b de la ecuación de la circunferencia:
b = 59,5196488383696

Ya tenemos el punto T (57'411, 59'519)

El ángulo que crean el eje X y la recta imaginaria OT (es decir, centro de la circunferencia hacia punto hallado), nos dará LA LATITUD perfecta..

podemos usar la misma ecuación de antes de la tangente

la pendiente de OT es 59'519 / 57'411
la pendiente del eje X es 0

que estupidamente da 59'519 / 57'411 (qué raro....) que usando todos los decimales del principio.. 1,0367217417

hacemos el ARCOTANGENTE para encontrar el puñetero angulo: 46,032921106 grados



Embarassed Embarassed Embarassed Embarassed

¿¿¿Es así???
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pablo
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Registrado: 23 Sep 2003
Mensajes: 11723

MensajePublicado: 21/12/2013 12:47    Asunto: Responder citando

No quiero leer la respuesta de Sadlymistaken para no destriparme Laughing pero ahora con el dibujo queda todo más claro. No sé si será más sencillo resolverlo en coordenadas cartesianas o radiales, pero si la cosa era hacer un corte transversal ahora ya sí lo veo posible.

Básicamente son dos condiciones, es decir, si no me equivoco era un problema de "maximización", ¿no? Con la condición de que el radio del planeta debe ser R, buscar el punto en el que el ángulo de visión de los ángulos es máximo. Habrá que derivar, igualar a cero y cosas así. Ahora lo miro.
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Chungalin
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MensajePublicado: 21/12/2013 13:24    Asunto: Responder citando

Sin querer desmerecer el análisis de Sadly (joer, no sé por qué te creía más de letras, pero veo que te va la marcha numérica!), me parece que tras ver el planteamiento gráfico de m-angel, está claro que pablo va en un camino más directo.

Yo aplicaría trigonometría para poner el ángulo α (alfa, por si no se lee bien) en función del ángulo φ (phi), y de ahí obtener el máximo de dicha función entre 0 y 90º (o entre 0 y pi/2), derivando, etc. Bueno, hay que hacerlo...
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Sadlymistaken
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Registrado: 14 Nov 2008
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MensajePublicado: 21/12/2013 13:34    Asunto: Responder citando

Chungalin escribió:
Sin querer desmerecer el análisis de Sadly (joer, no sé por qué te creía más de letras, pero veo que te va la marcha numérica!), me parece que tras ver el planteamiento gráfico de m-angel, está claro que pablo va en un camino más directo.


si lo que ha dicho pablo y lo que he hecho yo es lo mismo..
un problema de maximación del ángulo...
y por cierto, sí, me va, me va.... jajajaja
a ver si gano la enciclopedia matemática esa...
Cuando comenzaron a salir los tomos de RBA, no pararon de enviarme al correo publicidad de esa colección, y me quedé con las ganas.. pero ya es mucho dineral para estar con dos colecciones..
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Chungalin
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MensajePublicado: 21/12/2013 13:57    Asunto: Responder citando

Sadlymistaken escribió:
si lo que ha dicho pablo y lo que he hecho yo es lo mismo..

Vale, no te lo discuto, pero la diferencia está en que siempre se entiende mejor si uno expone un resumen del plan de ataque y luego va ampliando y entrando en detalle fino de cada parte. Tú en cambio creo que entras muy directo a los detalles de resolución, sin que ello implique ningún error formal pero influye de cara a que nos comprendan. Yo no soy profesor, pero todos hemos sido alumnos y sabemos que las explicaciones más esquemáticas (que pueden dividir un problema en otros más pequeños) siempre las entendemos mejor.
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Sadlymistaken
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MensajePublicado: 21/12/2013 14:24    Asunto: Responder citando

Ah, bueno.. el matiz ejejejejeje... ains..

¡¡Bueno!! Cuando lo tengáis ir poniendo los resultados pleaseeeeee
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Chungalin
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MensajePublicado: 21/12/2013 15:11    Asunto: Responder citando

De todos modos, coincido en la observación de Kaximpo: más allá de 45º (desde el plano ecuatorial), aunque el ángulo alfa pueda dar un máximo, la curvatura del planeta te empieza a ocultar el anillo más interno. ¡Hay que tener eso en cuenta, salvo que consideremos el planeta transparente! Estando de acuerdo en esto, el máximo habría que buscarlo con 0 < φ ≤ pi/4.

Ultima edición por Chungalin el 21/12/2013 15:15, editado 1 vez
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Sadlymistaken
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MensajePublicado: 21/12/2013 15:14    Asunto: Responder citando

Chungalin escribió:
De todos modos, coincido en la observación de Kaximpo: más allá de 45º (desde el plano ecuatorial), aunque el ángulo alfa pueda dar un máximo, la curvatura del planeta te empieza a ocultar el anillo más interno. ¡Hay que tener eso en cuenta, salvo que consideremos el planeta transparente!


Pero que el anillo no está PEGADO al planeta... hay un espacio de separación considerable a tener en cuenta...
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Chungalin
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MensajePublicado: 21/12/2013 15:19    Asunto: Responder citando

Sí, sí, ahora mismo lo estaba repensando y tienes razón. Así pues, el máximo φ es proporcional a la distancia r1-r.
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pablo
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MensajePublicado: 21/12/2013 15:45    Asunto: Responder citando

A mí no me convence lo que me sale, pero por comentar:



Básicamente planteo el ángulo alfa de la amplitud como la resta de dos ángulos beta 2 y beta 1. Estos beta 2 y beta 1 se definen como arcotangentes, es decir de "el opuesto partido el contiguo". R2-a partido h, y R1-a partido h.

Sustituyo a y h en función del ángulo phi, como productos de R por el seno o el coseno de ese ángulo.

A partir de ahí, simplemente derivo alfa en función de phi, e igualo la derivada a cero.

Mucha trigonometría después, me sale que phi es 16,89º... No sé yo.

Si saco alfa a partir de este valor, me dice que la amplitud es de 49'27º.

La verdad es que no me convence, pero no voy a darle más vueltas al problema, que si no no hago otras cosas.
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m-angel
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MensajePublicado: 21/12/2013 15:54    Asunto: Responder citando

Yo lo he hecho sin derivar, solo con trigonometria, y me sale 16 y pico como a Pablo.

Para no tender que derivar, la observacion principal es que el triangulo formado por el anillo externo, el interno y el punto en la superficie de Saturno (ver dibujo de Pablo) esta inscrito en un circulo que es tangente a Saturno precisamente cuando Alfa es Maximo ( y en todos los demas casos es secante)
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Kaximpo
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MensajePublicado: 21/12/2013 17:52    Asunto: Responder citando

Chungalin escribió:
De todos modos, coincido en la observación de Kaximpo: más allá de 45º (desde el plano ecuatorial), aunque el ángulo alfa pueda dar un máximo, la curvatura del planeta te empieza a ocultar el anillo más interno. ¡Hay que tener eso en cuenta, salvo que consideremos el planeta transparente! Estando de acuerdo en esto, el máximo habría que buscarlo con 0 < φ ≤ pi/4.

No tiene por qué ser 45º, depende de la separación de los anillos de la superficie del planeta como decía Sadly, pero sí existe cierta latitud a partir de la cual más hacia el norte (o el sur) no verías el extremo interno de los anillos y ésa era la que yo quería calcular. Lo había hecho mal, no es el arco tangente de 60/67 sino el arco coseno. Serían 26,42 grados. La solución de los 16º cumpliría esa condición.
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m-angel
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Registrado: 21 Ene 2010
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Ubicación: En la casa de la pradera

MensajePublicado: 22/12/2013 03:37    Asunto: Responder citando

pablo escribió:
A mí no me convence lo que me sale, pero por comentar:





El argumento del libro sobre el circulo tangente era el siguiente:

Llamemos A y B a los extremos del segmento de longitud R2-a, y consideramos una circunferencia que pase por A y B, de modo que el segmento es una cuerda de dicha circunferencia. Tomemos un tercer punto C en el circulo para hacer el triangulo ABC. Las dos observaciones son: 1: El angulo del triangulo en el vertice C mide lo mismo cualquiera que sea C, con tal que este' en la circunferencia. 2: Si tomamos otra circunferencia de radio mayor, que tambien tenga a AB como cuerda, y construimos un triangulo ABD con el punto D en la nueva circunferencia, el angulo del vertice D es mas pequen~o que el de C.

Por tanto, la circunferencia que pasa por A y B y es tangente a Saturno es la que tendra mayor angulo en el punto de tangencia de entre todas las circunferencia que pasan por A, B y un punto en la superficie de Saturno.

Sabiendo esto, hice los calculos como dice Pablo y me salio tb 16 y pico, que me parecio raro. Entonces probe a cambiar el radio del anillo interno interno de Saturno: si fuera 88000 en vez de 67000, la latitud me salia 33, lo que me parecia intuitivamente mas correcto. Creo que el valor de 16 esta bien, y se debe a que el anillo interno esta, en comparacion, muy cerca del planeta.
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miski
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Registrado: 27 Dic 2009
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Ubicación: Aquí

MensajePublicado: 22/12/2013 20:34    Asunto: Responder citando

pablo escribió:
A mí no me convence lo que me sale, pero por comentar:



Pues a mi me sale esto:

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