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La belleza de las matemáticas
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El hombre de negro
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MensajePublicado: 20/12/2019 15:07    Asunto: Responder citando

Ojo, pero en las reglas viene que el gordo no te da el reintegro
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migo
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MensajePublicado: 21/12/2019 08:58    Asunto: Responder citando

Le he estado dando vueltas en la cama y creo haber dado con la solución. Tal y como sospechaba, ésta está relacionada con el hecho de que el gordo no obtiene reintegro.

Veámoslo con un ejemplo:

Para el número 0...01, cuyo Gúgol-dígito es el 1, la probabilidad de obtener reintegro es (10^99 - 1) / 10^100 (la probabilidad de que el gordo termine en uno y no sea el propio 0...01).

Sin embargo, para el número 0...10, cuyo Gúgol-dígito también es el 1, la probabilidad es mayor (1/10) ya que la limitación de que el gordo no obtiene reintegro no le afecta (ya que su terminación no coincide con su Gúgol-dígito).

Dicho de otro modo, la probabilidad de que un número obtenga reintegro sería:

1/10 si la terminación del número no coincide con su Gúgol-dígito.
(10^99 - 1) / 10^100 en caso contrario.

Por tanto, no todos los números tienen la misma probabilidad de obtener un Gúgol-reintegro.

¿Qué opináis de mi razonamiento?
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ase62
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MensajePublicado: 21/12/2019 10:16    Asunto: Responder citando

migo escribió:
Le he estado dando vueltas en la cama y creo haber dado con la solución. Tal y como sospechaba, ésta está relacionada con el hecho de que el gordo no obtiene reintegro.

Veámoslo con un ejemplo:

Para el número 0...01, cuyo Gúgol-dígito es el 1, la probabilidad de obtener reintegro es (10^99 - 1) / 10^100 (la probabilidad de que el gordo termine en uno y no sea el propio 0...01).

Sin embargo, para el número 0...10, cuyo Gúgol-dígito también es el 1, la probabilidad es mayor (1/10) ya que la limitación de que el gordo no obtiene reintegro no le afecta (ya que su terminación no coincide con su Gúgol-dígito).

Dicho de otro modo, la probabilidad de que un número obtenga reintegro sería:

1/10 si la terminación del número no coincide con su Gúgol-dígito.
(10^99 - 1) / 10^100 en caso contrario.

Por tanto, no todos los números tienen la misma probabilidad de obtener un Gúgol-reintegro.

¿Qué opináis de mi razonamiento?

Yo creo que todos los números juegan con las mismas posibilidades de tener reintegro con el nuevo sistema: independientemente de cuál sea su Gúgol-dígito (un número del 0 al 9), el hecho de que se lleve premio dependerá exclusivamente de la terminación del Gordo. No hay nada más que influya. Y ese premio gordo es una bola de entre las 10^100 que entraban en el bombo, y las probabilidades de que termine en un número entre el 0 y 9 es 1/10 (aunque, efectivamente, luego haya números cuyo gúgol-dígito se repita más: yo no me voy a poner a calcular con números descomunales si el gúgol-dígito 9 se repite más que el 3. Realmente nos da igual. Habrá más números con reintegro del 9 que del 3, pero las probabilidades siguen siendo las mismas para todos: 1/10. O sea: le tocará el reintegro a más número de personas o a menos, pero la probabilidad de cada jugador es la misma).

Si sale ganador (Gordo) el cero (cien ceros), entiendo que también hay reintegro para todos los que juegan números terminados en cero, así que la probabilidad es la misma (1/10). Que el Gordo no se lleve reintegro para mí no modifica la probabilidad: es solo una referencia para saber qué números se llevan el premio. Parten todos con igual ventaja. Cuando se calculan las posibilidades de que te toque reintegro en la Lotería Nacional tampoco descontamos la bola el premio Gordo o las de los premios secundarios. Es 1/10 para todos los números.

EDITO: Sobre tu razonamiento: entiendo que hayas decidido descontar la probabilidad del Gordo del total (ya que no tiene reintegro), restando 1. Pero no comprendo por qué haces dos casuísticas: el número "0...10", no se ve afectado para el ejemplo o caso que has puesto (de que el Gordo sea el "0...01"), pero si el Gordo hubiera sido el "0...10" sí se vería afectado, por tanto, sería la misma probabilidad que decías en el primer caso:

(10^99-1)/(10^100)

¿no? O sea: si descontamos la probabilidad de que aparezca el Gordo (1/(10^100)) a la probabilidad de que salga un número entre el 0 y el 9 en la cifra de las unidades del Gordo (1/10), pues sale justo la fórmula que dices: (10^99-1)/(10^100). Y, en mi razonamiento, en el que no descontamos la bola del Gordo (sin reintegro), pues se queda en un simple 1/10.
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El hombre de negro
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MensajePublicado: 21/12/2019 13:14    Asunto: Responder citando

Como decís el problema es cuánto hay que descontar por la excepción de que el Gordo no lleve reintegro.

- Caso 00..010 - su gúgol-dígito (1) no coincide con su propia terminación. Si el gordo cae en este número no se lleva reintegro por no coincidir. Pero ese es un caso de "acabado en 0" que ya está descartado. La probabilidad de llevarse premio es de 1/10 (que el gordo termine en 1: no puedo descartar los números acabados en 0 dos veces).

- Caso 00..001 - su gúgol dígito (1) coincide con su propia terminación. Si el gordo cae en este número no se lleva reintegro por ser el gordo. Así pues, la probabilidad es de 1/10 (que el gordo termine en 1) - 1/gúgol (la probabilidad de ser el gordo)

Creo que Migo tiene razón, Ase, estás descontando la probabilidad del gordo dos veces. Los números cuyo gúgol-dígito no coincide con su último dígito tienen una gugolésima probabilidad más de acertar la terminación.
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ase62
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MensajePublicado: 21/12/2019 13:23    Asunto: Responder citando

El hombre de negro escribió:
Como decís el problema es cuánto hay que descontar por la excepción de que el Gordo no lleve reintegro.

- Caso 00..010 - su gúgol-dígito (1) no coincide con su propia terminación. Si el gordo cae en este número no se lleva reintegro por no coincidir. Pero ese es un caso de "acabado en 0" que ya está descartado. La probabilidad de llevarse premio es de 1/10 (que el gordo termine en 1: no puedo descartar los números acabados en 0 dos veces).

- Caso 00..001 - su gúgol dígito (1) coincide con su propia terminación. Si el gordo cae en este número no se lleva reintegro por ser el gordo. Así pues, la probabilidad es de 1/10 (que el gordo termine en 1) - 1/gúgol (la probabilidad de ser el gordo)

Creo que Migo tiene razón, Ase, estás descontando la probabilidad del gordo dos veces. Los números cuyo gúgol-dígito no coincide con su último dígito tienen una gugolésima probabilidad más de acertar la terminación.

Es una locura Very Happy Very Happy Me estoy rayando muchísimo con esto.

Veamos: ¿Habéis pensado en cuántos números tienen gúgol-dígito igual a CERO? Solo 1: el 0000000....000. Todos los demás tienen otro diferente. Es bastante probable que suceda algo parecido con el resto de cifras. El UNO quizá sea más frecuente que el TRES. Pero eso no cambia la probabilidad: ¿parten todos con igual ventaja? Para mí sí, porque lo que se mira es la terminación del Gordo. Y hay 10^99 cifras acabadas en cero, 10^99 cifras acabadas en 1, 10^99 acabadas en nueve... ¿me explico?: 1/10.

La probabilidad de reintegro es la misma para todos. A lo sumo podría entender lo de restar 1 (la fórmula que citaba Migo), que dejaría el famoso (10^99 -1)/(10^100).

¿Cuándo dan la solución? Very Happy Very Happy
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El hombre de negro
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MensajePublicado: 21/12/2019 13:29    Asunto: Responder citando

A ver... el número 00..010 sí tiene 1/10 de probabilidades. Porque para ser reintegro el gordo tiene que ser un número que acabe en 1. Y cada diez bolas una acaba en 1.

Pero el número 00..001 no tiene 1/10. Porque para ser reintegro el gordo tiene que ser un número que acabe en 1. Y cada diez bolas, una acaba en 1. Pero hay una en particular que es el 00..001 que no le da premio por terminación si sale. Hay que quitar esa bola del total de bolas que acaban en 1.
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MensajePublicado: 21/12/2019 14:44    Asunto: Responder citando

El hombre de negro escribió:
A ver... el número 00..010 sí tiene 1/10 de probabilidades. Porque para ser reintegro el gordo tiene que ser un número que acabe en 1. Y cada diez bolas una acaba en 1.

Pero el número 00..001 no tiene 1/10. Porque para ser reintegro el gordo tiene que ser un número que acabe en 1. Y cada diez bolas, una acaba en 1. Pero hay una en particular que es el 00..001 que no le da premio por terminación si sale. Hay que quitar esa bola del total de bolas que acaban en 1.

Vale, ya entiendo. Si tú juegas el 000..10 y yo el 000..01 tú tienes una minimísima ventaja ya que jamás te coincidirá el Gordo que te haga ganador del sorteo con el Gordo que te dé el reintegro.

Entonces sí se podría crear una regla de oro en la línea de lo que proponía Migo (que es lo que él trataba de explicarnos y no lo ví):

- Probabilidad para números cuyo reintegro nunca puede coincidir con el Gordo (1/10).
- Probabilidad para números cuyo reintegro puede coincidir con el Gordo (10^99-1)/10^100).

O sea, hay números con ventaja sobre otros. Gracias por ayudarme a reflexionar Wink
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MensajePublicado: 21/12/2019 17:25    Asunto: Responder citando

ase62 escribió:

Entonces sí se podría crear una regla de oro en la línea de lo que proponía Migo (que es lo que él trataba de explicarnos y no lo ví):

- Probabilidad para números cuyo reintegro nunca puede coincidir con el Gordo (1/10).
- Probabilidad para números cuyo reintegro puede coincidir con el Gordo (10^99-1)/10^100).


Exacto. Eso es a lo que me refería. Más formalmente, la probabilidad de que un número obtenga el Gúgol-reintegro sería:

    gúgol_reintegro(i) = { 1 / 10 si gúgol_dígito(i) != terminación(i)
    (10^99 - 1) / 10^100 en cualquier otro caso

    siendo

    gúgol_dígito(n) = { 0 si n = 0
    9 si n mod 9 = 0
    n mod 9 en cualquier otro caso

    terminación(n) = n mod 10


(El espaciado falla, pero creo que se entiende).

Ase62 escribió:
¿Cuándo dan la solución? Very Happy Very Happy


Pone que la darán hoy.
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Ultima edición por migo el 22/12/2019 11:05, editado 1 vez
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MensajePublicado: 21/12/2019 21:58    Asunto: Responder citando

migo escribió:

gúgol_dígito(n) = n mod 9

Eres un crack. ¡No había pensado en este detalle! He tenido que ponerme a hacerlo para verificarlo. Incluso con números de más de 2 cifras. Igual es algo evidente, pero no lo recordaba.
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MensajePublicado: 22/12/2019 11:04    Asunto: Responder citando

ase62 escribió:
Eres un crack. ¡No había pensado en este detalle! He tenido que ponerme a hacerlo para verificarlo. Incluso con números de más de 2 cifras. Igual es algo evidente, pero no lo recordaba.


Eres muy amable Embarassed. Se trata de una propiedad que recordaba. No obstante, acabo de caer en que, con las prisas, pasé por alto una excepción a esta propiedad: el módulo 9 de los múltiplos de 9 es cero. Por tanto, esta función debería ser:


    gúgol_dígito(n) = { 0 si n = 0
    9 si n mod 9 = 0
    n mod 9 en cualquier otro caso


(Edito el mensaje anterior para dejarlo como toca).

Ya está la solución al desafío. Parece que, efectivamente, la clave estaba en que el gordo no obtiene el reintegro. Además de las probabilidades de cada décimo, incluyen también qué números son los que terminan en su gúgol-dígito.
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m-angel
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MensajePublicado: 21/02/2020 15:49    Asunto: Responder citando

Las matemáticas del huevo:

https://ztfnews.wordpress.com/2010/10/08/la-matematica-del-huevo/
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MensajePublicado: 21/02/2020 16:19    Asunto: Responder citando

m-angel escribió:
Las matemáticas del huevo:

https://ztfnews.wordpress.com/2010/10/08/la-matematica-del-huevo/

Gracias por el enlace. Hablando de huevos y matemáticas... ayer mismo leí la anécdota del huevo y la cúpula del Duomo de Florencia al que Brunelleschi encontró solución. Aunque en ese caso fue más un tema de "astutez" más que de matemáticas, que llegarían después, al crear la cúpula y sus dos cáscaras. Por cierto, lo del huevo y Colón sucedió después, por lo que no se descarta que Colón conociese la anécdota de Brunelleschi.

Y hablando de mates, hoy me ha llegado una noticia sobre Amazon y los empleados que contrata. Les plantea este acertijo y así, a primera vista, no lo veo claro. Entiendo que hay que tirar de cálculos, no es trivial:

https://es.gizmodo.com/sabrias-resolver-el-problema-del-cable-colgante-que-1841784582
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MensajePublicado: 22/02/2020 02:55    Asunto: Responder citando

Un cable colgante es una catenaria, cuya forma viene dada por el coseno hiperbólico, o f(x)=(a/2) ( e^{x/a}+e^{-x/a}), donde el parámetro a se ajusta según estén situados los postes.

Para la primera de las dos preguntas en el vídeo, sí que hacen falta cálculos. Sin embargo, la segunda pregunta (la que hacía Amazon en las entrevistas) se puede responder sin cálculos. Haz un dibujo de los postes y la catenaria marcando todas las cantidades dadas, y lo verás.
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MensajePublicado: 22/02/2020 15:52    Asunto: Responder citando

m-angel escribió:
Un cable colgante es una catenaria, cuya forma viene dada por el coseno hiperbólico, o f(x)=(a/2) ( e^{x/a}+e^{-x/a}), donde el parámetro a se ajusta según estén situados los postes.

Para la primera de las dos preguntas en el vídeo, sí que hacen falta cálculos. Sin embargo, la segunda pregunta (la que hacía Amazon en las entrevistas) se puede responder sin cálculos. Haz un dibujo de los postes y la catenaria marcando todas las cantidades dadas, y lo verás.

Gracias por el apunte. La segunda pregunta sí que es más fácil, pero la primera había olvidado por completo lo de la fórmula del coseno hiperbólico (después de más de 20 años Very Happy). Realmente da igual el material o tipo de cable, ¿no? Sea de metal, de cuerda... la forma que toma siempre es la de catenaria, ¿no?

Yo es que lo había dibujado / planteado como una función y=x^n, y había intentado hacerlo con una integral para obtener la longitud del cable. Como esta es conocida, igualando al resultado de la integral, intentaba despejar. Pero tengo la incógnita de n. Para casos particulares sí funciona (x^2, x^3...), pero esas curvas, efectivamente, no tienen forma de catenaria, así que mal.
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m-angel
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MensajePublicado: 22/02/2020 16:23    Asunto: Responder citando

No ibas desencaminado, de hecho hasta el siglo XVII se creía que un cable colgante tenía forma de parábola, hasta que Huygens demostró que no lo era.
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