El foro de la T.I.A.

[m-angel]

El libro donde lei el problema se referia, al decir la panoramica mas amplia, a que los anillos parezcan lo mas amplios posible de arriba a abajo.

A ver si se ve el dibujo: el angulo rojo (alfa) tiene que ser lo mayor posible.

https://drive.google.com/file/d/0B1Y21yhYdmEOX1hCMGtkWmtmZ00/edit?usp=sharing

Pero tambien esta bien plantear otras definiciones de "panoramica mas amplia."

[Sadlymistaken]

Si termina siendo este ejercicio geometría plana

(usando cifras más pequeñas, pero igual de eficaces... porque los ángulos serán los mismos..)

el centro de la circunferencia que representa el planeta es O (0, 0)
la circunferencia comenzamos a dibujarla por el punto.. M (60, 0) del eje X
Y el aro saturniano representara tan solo una linea en el eje X desde el punto P (67, 0) hasta Q (140, 0)

al susodicho punto en la circunferencia le llamamos T (a, b)

de P a T tendremos la recta "r"
de Q a T tendremos la recta "s"

Buscamos el punto T, perneciente a la circunferencia que haga máximo el ángulo (interior) entre r y s.

OK...
La ecuación de la circunferencia es a² + b² = 60²
El vector director de "r" es (67-a, -b)
El vector director de "s" es (140-a, -b)

Con ello conseguimos rellenar la ecuación para conseguir ese ángulo.. por medio de la tangente, y las pendientes de esas rectas.



rellenamos los datos.

Una vez hecho eso... y habiendo despejado b en la ecuación de la circunferencia, ponemos el valor de b en esa ecuación.

DERIVAMOS la ecuación, en búsqueda de máximos y mínimos...
IGUALAMOS A CERO, y no se porqué... sólo me da un resultado
a = 57,4114021572
Lo compruebo con la SEGUNDA DERIVADA... es un mínimo. OK.
Lo necesitamos, pues CUANTO MÁS PEQUEÑA sea la TANGENTE (recordad que estamos usando la tangente del angulo)... el ángulo será mayor.
despejamos b de la ecuación de la circunferencia:
b = 59,5196488383696

Ya tenemos el punto T (57'411, 59'519)

El ángulo que crean el eje X y la recta imaginaria OT (es decir, centro de la circunferencia hacia punto hallado), nos dará LA LATITUD perfecta..

podemos usar la misma ecuación de antes de la tangente

la pendiente de OT es 59'519 / 57'411
la pendiente del eje X es 0

que estupidamente da 59'519 / 57'411 (qué raro....) que usando todos los decimales del principio.. 1,0367217417

hacemos el ARCOTANGENTE para encontrar el puñetero angulo: 46,032921106 grados





¿¿¿Es así???

[pablo]

No quiero leer la respuesta de Sadlymistaken para no destriparme pero ahora con el dibujo queda todo más claro. No sé si será más sencillo resolverlo en coordenadas cartesianas o radiales, pero si la cosa era hacer un corte transversal ahora ya sí lo veo posible.

Básicamente son dos condiciones, es decir, si no me equivoco era un problema de "maximización", ¿no? Con la condición de que el radio del planeta debe ser R, buscar el punto en el que el ángulo de visión de los ángulos es máximo. Habrá que derivar, igualar a cero y cosas así. Ahora lo miro.

[Chungalin]

Sin querer desmerecer el análisis de Sadly (joer, no sé por qué te creía más de letras, pero veo que te va la marcha numérica!), me parece que tras ver el planteamiento gráfico de m-angel, está claro que pablo va en un camino más directo.

Yo aplicaría trigonometría para poner el ángulo α (alfa, por si no se lee bien) en función del ángulo φ (phi), y de ahí obtener el máximo de dicha función entre 0 y 90º (o entre 0 y pi/2), derivando, etc. Bueno, hay que hacerlo...

[Sadlymistaken]

[Chungalin]

[Sadlymistaken]

Ah, bueno.. el matiz ejejejejeje... ains..

¡¡Bueno!! Cuando lo tengáis ir poniendo los resultados pleaseeeeee

[Chungalin]

De todos modos, coincido en la observación de Kaximpo: más allá de 45º (desde el plano ecuatorial), aunque el ángulo alfa pueda dar un máximo, la curvatura del planeta te empieza a ocultar el anillo más interno. ¡Hay que tener eso en cuenta, salvo que consideremos el planeta transparente! Estando de acuerdo en esto, el máximo habría que buscarlo con 0 < φ ≤ pi/4.

[Sadlymistaken]

[Chungalin]

Sí, sí, ahora mismo lo estaba repensando y tienes razón. Así pues, el máximo φ es proporcional a la distancia r1-r.

[pablo]

A mí no me convence lo que me sale, pero por comentar:



Básicamente planteo el ángulo alfa de la amplitud como la resta de dos ángulos beta 2 y beta 1. Estos beta 2 y beta 1 se definen como arcotangentes, es decir de "el opuesto partido el contiguo". R2-a partido h, y R1-a partido h.

Sustituyo a y h en función del ángulo phi, como productos de R por el seno o el coseno de ese ángulo.

A partir de ahí, simplemente derivo alfa en función de phi, e igualo la derivada a cero.

Mucha trigonometría después, me sale que phi es 16,89º... No sé yo.

Si saco alfa a partir de este valor, me dice que la amplitud es de 49'27º.

La verdad es que no me convence, pero no voy a darle más vueltas al problema, que si no no hago otras cosas.

[m-angel]

Yo lo he hecho sin derivar, solo con trigonometria, y me sale 16 y pico como a Pablo.

Para no tender que derivar, la observacion principal es que el triangulo formado por el anillo externo, el interno y el punto en la superficie de Saturno (ver dibujo de Pablo) esta inscrito en un circulo que es tangente a Saturno precisamente cuando Alfa es Maximo ( y en todos los demas casos es secante)

[Kaximpo]

[m-angel]

[miski]